kaoyan1basic 高等数学 第18题

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{12}$ **解析**： 步骤1：积分区域由$y$从$0$到$1$，$x$从$y$到$\sqrt{2y-y^2}$，即$x^2+y^2 \le 2y$且$x \ge y$，即$x^2+(y-1)^2 \le 1$，$x \ge y$。 步骤2：交换积分次序：$x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$x$，但需满足$x^2+y^2 \le 2y$即$x^2+(y-1)^2 \le 1$，解得$y \ge 1-\sqrt{1-x^2}$。故$y$从$1-\sqrt{1-x^2}$到$x$。 步骤3：$\displaystyle I = \int_0^1 dx \int_{1-\sqrt{1-x^2}}^x \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-x^2-y^2}} dy$。 步骤4：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则区域：$r$从$0$到$2\sin\theta$，$\theta$从$\displaystyle \frac{\pi}{4}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，被积函数$\displaystyle \frac{1}{r\sqrt{4-r^2}}$，$dxdy = r dr d\theta$。 步骤5：$\displaystyle I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\sin\theta} \frac{1}{\sqrt{4-r^2}} dr = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \left[ \arcsin\frac{r}{2} \right]_0^{2\sin\theta} d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \theta \, d\theta = \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{16}\right) = \frac{3\pi^2}{32}$。 **难度**：★★★★☆