kaoyan1basic 高等数学 第17题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．计算二重积分 $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-\sqrt{2}(x+y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$4\pi$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle u = x - \frac{\sqrt{2}}{2}, v = y - \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$x^2+y^2-\sqrt{2}(x+y) = u^2+v^2 -1$，区域$D$变为$u^2+v^2 \le 4$。 步骤2：积分$I = \iint_{u^2+v^2 \le 4} |u^2+v^2-1| \,dudv$。 步骤3：用极坐标$u=r\cos\theta, v=r\sin\theta$，$I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 |r^2-1| r \,dr = 2\pi \left( \int_0^1 (1-r^2)r \,dr + \int_1^2 (r^2-1)r \,dr \right)$。 步骤4：计算得$\displaystyle \int_0^1 (r-r^3)dr = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$，$\displaystyle \int_1^2 (r^3-r)dr = \left(\frac{16}{4} - \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = (4-2) - (-\frac{1}{4}) = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$，和为$\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$。 步骤5：$\displaystyle I = 2\pi \times \frac{5}{2} = 5\pi$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：通过坐标平移简化被积函数
令 u = x - √2/2, v = y - √2/2，则 x^2 + y^2 - √2(x+y) = u^2 + v^2 - 1，区域 D 变为 u^2 + v^2 ≤ 4。
公式：u = x - √2/2, v = y - √2/2
提示：平移变换不改变区域面积，但简化了被积函数。
步骤 2/5
目标：将积分转化为极坐标形式
积分 I = ∬_{u^2+v^2≤4} |u^2+v^2-1| dudv。使用极坐标 u = r cosθ, v = r sinθ，则 I = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^2 |r^2-1| r dr。
公式：I = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^2 |r^2-1| r dr
提示：极坐标下面积元为 r dr dθ。
步骤 3/5
目标：分段处理绝对值
将积分区间按 r=1 分为两段：当 0≤r≤1 时，|r^2-1| = 1-r^2；当 1≤r≤2 时，|r^2-1| = r^2-1。因此 I = 2π [ ∫_0^1 (1-r^2) r dr + ∫_1^2 (r^2-1) r dr ]。
公式：I = 2π (∫_0^1 (r - r^3) dr + ∫_1^2 (r^3 - r) dr)
提示：注意绝对值分段点的处理。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 ∫_0^1 (r - r^3) dr = [r^2/2 - r^4/4]_0^1 = 1/2 - 1/4 = 1/4。计算 ∫_1^2 (r^3 - r) dr = [r^4/4 - r^2/2]_1^2 = (16/4 - 4/2) - (1/4 - 1/2) = (4-2) - (1/4 - 1/2) = 2 - (-1/4) = 9/4。两积分之和为 1/4 + 9/4 = 5/2。
公式：∫_0^1 (r - r^3) dr = 1/4, ∫_1^2 (r^3 - r) dr = 9/4
提示：注意牛顿-莱布尼茨公式的应用。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
I = 2π × (5/2) = 5π。
公式：I = 5π
提示：检查计算过程，确保无误。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第17题 返回列表 第18题 →