kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{3} \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}, f(x)$ 是定义在 $[-a, a](a \geqslant 1)$ 上的任意连续函数，求 $\iint_{D}[(x+1) f(x)+(x-1) f(-x)] \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：将积分区域$D$分解为$D_1: -1 \le x \le 0, x^3 \le y \le 1$和$D_2: 0 \le x \le 1, x^3 \le y \le 1$。 步骤2：原积分$I = \iint_{D_1}[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin y \,dxdy + \iint_{D_2}[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin y \,dxdy$。 步骤3：在$D_1$中作变量代换$u=-x$，则$u \in [0,1]$，$y$不变，$dx = -du$，区域变为$D_2$。代入得： $\iint_{D_1}[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin y \,dxdy = \iint_{D_2}[(-u+1)f(-u)+(-u-1)f(u)]\sin y \,dudy$。 步骤4：与$D_2$上的积分相加，被积函数为$[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin y + [(-x+1)f(-x)+(-x-1)f(x)]\sin y = 0$。 故$I=0$。 **难度**：★★★☆☆