kaoyan1basic 高等数学 第28题
📝 题目
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．已知函数 $\displaystyle f(t)=\int_{1}^{t^{2}} \mathrm{~d} x \int_{t}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(\pi)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$f(t)=\int_1^{t^2} dx \int_t^{\sqrt{x}} e^{x/y} dy$，求导$f'(t)$。 步骤2：利用含参积分求导公式，$\displaystyle f'(t)=2t \int_t^{\sqrt{t^2}} e^{t^2/y} dy + \int_1^{t^2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \int_t^{\sqrt{x}} e^{x/y} dy \right) dx$，但注意上限$\sqrt{x}$与$t$无关，下限$t$与$t$有关。 步骤3：更简单方法：交换积分次序。原积分区域：$1\le x\le t^2, t\le y\le \sqrt{x}$，即$y$从$t$到$\sqrt{x}$，$x$从$y^2$到$t^2$（因为$y\le\sqrt{x}$得$x\ge y^2$，且$x\le t^2$）。 步骤4：交换后$f(t)=\int_t^t dy \int_{y^2}^{t^2} e^{x/y} dx$，下限$y=t$，上限$y=t$，积分区间长度为0，故$f(t)=0$，从而$f'(\pi)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域并交换积分次序
原积分 $f(t)=\int_{1}^{t^{2}} dx \int_{t}^{\sqrt{x}} e^{x/y} dy$，积分区域：$1\le x\le t^2$，$t\le y\le \sqrt{x}$。由 $y\le\sqrt{x}$ 得 $x\ge y^2$，且 $x\le t^2$，故交换次序后 $f(t)=\int_{t}^{t} dy \int_{y^2}^{t^2} e^{x/y} dx$。
公式：交换积分次序：$\int_a^b dx \int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dy = \int_c^d dy \int_{p(y)}^{q(y)} f(x,y) dx$
提示：注意交换次序后积分限的确定，由原区域的不等式关系推导新区域。
步骤 2/3
目标：计算交换后的积分
交换后 $f(t)=\int_{t}^{t} dy \int_{y^2}^{t^2} e^{x/y} dx$，由于外层积分上下限均为 $t$，积分区间长度为0，故 $f(t)=0$。
公式：若积分上下限相等，则定积分为0：$\int_a^a f(x)dx=0$
提示：任何函数在长度为零的区间上积分值为0。
步骤 3/3
目标：求导并代入求值
由 $f(t)=0$ 得 $f'(t)=0$，故 $f'(\pi)=0$。
公式：常数的导数为0
提示：直接由函数恒为零得到导数为零。
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