kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 【强化篇】第29题（填空题） 29．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则 $\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$4\pi$ **解析**： 步骤1：区域$D$为圆心$(1,1)$半径$\sqrt{2}$的圆。 步骤2：利用形心坐标，圆域形心即为圆心$(1,1)$，面积$S=2\pi$。 步骤3：$\iint_D (x+y) d\sigma = (\bar{x}+\bar{y})S = (1+1)\cdot 2\pi = 4\pi$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域D的形状和参数
区域D由不等式(x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2定义，表示圆心在(1,1)、半径为√2的圆盘。
提示：注意圆心坐标和半径，为后续使用形心公式做准备。
步骤 2/4
目标：计算圆盘面积
圆盘面积S = π * (半径)^2 = π * (√2)^2 = 2π。
公式：S = πr^2
提示：半径平方为2，面积即为2π。
步骤 3/4
目标：利用形心坐标简化积分
对于均匀圆盘，形心即圆心(1,1)。因此，∫∫_D x dσ = x̄ * S = 1 * 2π = 2π，同理∫∫_D y dσ = 2π。
公式：∫∫_D x dσ = x̄ S，∫∫_D y dσ = ȳ S
提示：形心坐标公式适用于均匀密度区域。
步骤 4/4
目标：计算所求积分
∫∫_D (x+y) dσ = ∫∫_D x dσ + ∫∫_D y dσ = 2π + 2π = 4π。
提示：线性性质将积分拆分为两部分。
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