kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 【强化篇】第33题（解答题） 33．设平面区域 $D=\{(r, \theta) \mid r \leqslant 1, r \leqslant 2 \cos \theta, \sin \theta \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} r^{2}\left(\cos \theta+\frac{1}{2} r \sin 2 \theta\right) \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$r\le 1$，$r\le 2\cos\theta$，$\sin\theta\ge 0$围成，即$\theta\in[0,\pi]$。$r\le 2\cos\theta$在$\theta\in[0,\pi/2]$时有效，$\theta\in[\pi/2,\pi]$时$2\cos\theta\le 0$，故实际$\theta\in[0,\pi/2]$，且$r\le \min(1,2\cos\theta)$。 步骤2：分界点$2\cos\theta=1$得$\theta=\pi/3$。当$0\le\theta\le\pi/3$时，$r\le 2\cos\theta$；当$\pi/3\le\theta\le\pi/2$时，$r\le 1$。 步骤3：被积函数$\displaystyle r^2(\cos\theta+\frac{1}{2}r\sin2\theta)=r^2\cos\theta + r^3\sin\theta\cos\theta$。 步骤4：积分$\int_0^{\pi/3} d\theta \int_0^{2\cos\theta} (r^2\cos\theta + r^3\sin\theta\cos\theta) dr + \int_{\pi/3}^{\pi/2} d\theta \int_0^1 (r^2\cos\theta + r^3\sin\theta\cos\theta) dr$。 步骤5：先对$r$积分，第一部分：$\displaystyle \int_0^{2\cos\theta} (r^2\cos\theta + r^3\sin\theta\cos\theta) dr = \frac{8}{3}\cos^4\theta + 4\cos^6\theta\sin\theta$；第二部分：$\displaystyle \int_0^1 (r^2\cos\theta + r^3\sin\theta\cos\theta) dr = \frac{1}{3}\cos\theta + \frac{1}{4}\sin\theta\cos\theta$。 步骤6：再对$\theta$积分，计算得$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆