kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 【强化篇】第34题（选择题） 34．设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$ ． （A） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x y) \mathrm{d} y$ （B） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x y) \mathrm{d} x$ （C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$ （D） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：区域$D: x^2+y^2\le 2y$即$x^2+(y-1)^2\le 1$，圆心$(0,1)$半径$1$。 步骤2：极坐标变换$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则方程化为$r^2\le 2r\sin\theta$，即$r\le 2\sin\theta$，$\theta\in[0,\pi]$。 步骤3：被积函数$f(xy)=f(r^2\sin\theta\cos\theta)$，面积元$dxdy=rdrd\theta$。 步骤4：积分$\iint_D f(xy)dxdy = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2\sin\theta} f(r^2\sin\theta\cos\theta) r dr$，对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆