kaoyan1basic 高等数学 第36题
📝 题目
### 【强化篇】第36题（解答题） 36．设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y, x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{y}{2}\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3\pi}{8}$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$|x|\le y$（即$y\ge |x|$）和$\displaystyle x^2+y^2\le \sqrt{x^2+y^2}+\frac{y}{2}$围成。后一不等式化为极坐标：$\displaystyle r^2\le r + \frac{r\sin\theta}{2}$，即$\displaystyle r\le 1+\frac{\sin\theta}{2}$，且$r\ge 0$。 步骤2：$|x|\le y$对应极坐标$\theta\in[\pi/4, 3\pi/4]$。 步骤3：被积函数$\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \cos\theta + \sin\theta$。 步骤4：积分$\displaystyle \int_{\pi/4}^{3\pi/4} d\theta \int_0^{1+\frac{\sin\theta}{2}} (\cos\theta+\sin\theta) r dr = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta+\sin\theta) \cdot \frac{1}{2}(1+\frac{\sin\theta}{2})^2 d\theta$。 步骤5：计算得$\displaystyle \frac{3\pi}{8}$。 **难度**：★★★★☆