kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．计算 $\iint_{D}\left[x+y+\left(\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{y} \cos y\right) \sin (x y)\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x+y \geqslant 0, x \leqslant 1, y \leqslant 1\}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：区域$D=\{(x,y)|x+y\ge 0, x\le 1, y\le 1\}$，即$x\le 1, y\le 1, x+y\ge 0$，为正方形$x\in(-\infty,1], y\in(-\infty,1]$被直线$x+y=0$截出的半无限区域。 步骤2：被积函数中$[x+y]$为线性，另一部分$(e^x\cos x - e^y\cos y)\sin(xy)$关于$x,y$反对称？注意交换$x,y$后，$e^x\cos x - e^y\cos y$变号，$\sin(xy)$不变，故整体为反对称。区域$D$关于直线$y=x$对称吗？$x+y\ge 0$对称，但$x\le 1, y\le 1$也对称，故区域对称。因此反对称部分积分为0。 步骤3：只需计算$\iint_D (x+y) d\sigma$。区域$D$可看作$x\le 1, y\le 1, x+y\ge 0$，即第一象限部分加上第二象限部分等。 步骤4：积分$\iint_D (x+y) d\sigma = \int_{-\infty}^1 dx \int_{-x}^1 (x+y) dy$，但需注意$x$下限。当$x\le -1$时，$y\ge -x\ge 1$，但$y\le 1$，故无区域。实际$x$从$-1$到$1$，$y$从$-x$到$1$。 步骤5：计算$\displaystyle \int_{-1}^1 dx \int_{-x}^1 (x+y) dy = \int_{-1}^1 [x(1+x) + \frac{1}{2}(1-x^2)] dx = \int_{-1}^1 (x + x^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2) dx = \int_{-1}^1 (x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}) dx = [\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x]_{-1}^1 = (\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}) = \frac{7}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$。 **难度**：★★★☆☆