kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．设平面区域 $D=\left\{(x, y)\left|x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|y| \leqslant|x|\right\}\right.$ ，计算
$$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma .$ $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：区域$D$为圆$x^2+y^2\le 1$内且$|y|\le |x|$的部分，即四个扇形区域，每个角度$\pi/4$。 步骤2：被积函数$\displaystyle \frac{\sqrt{x^2 y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}+x^2-y^2} = \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}+x^2-y^2}$。由于区域对称，考虑第一象限$x\ge 0, y\ge 0, y\le x$，乘以4。 步骤3：在第一象限，$|xy|=xy$，$x^2-y^2\ge 0$。采用极坐标$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则$xy=r^2\sin\theta\cos\theta$，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$x^2-y^2=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta$。 步骤4：被积函数化为$\displaystyle \frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r + r^2\cos2\theta} = \frac{r\sin\theta\cos\theta}{1 + r\cos2\theta}$。 步骤5：区域：$0\le r\le 1$，$\theta\in[0,\pi/4]$。积分$\displaystyle 4\int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^1 \frac{r\sin\theta\cos\theta}{1 + r\cos2\theta} r dr$？注意面积元$rdrd\theta$，故被积函数乘以$r$得$\displaystyle \frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{1 + r\cos2\theta} r dr d\theta$？正确：原积分$\displaystyle \iint_D \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}+x^2-y^2} dxdy = 4\int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^1 \frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r + r^2\cos2\theta} \cdot r dr = 4\int_0^{\pi/4} \sin\theta\cos\theta d\theta \int_0^1 \frac{r^2}{1 + r\cos2\theta} dr$。 步骤6：先对$r$积分：$\displaystyle \int_0^1 \frac{r^2}{1 + r\cos2\theta} dr$，令$a=\cos2\theta$，则$\displaystyle \int_0^1 \frac{r^2}{1+ar} dr = \frac{1}{a^3}[\frac{1}{2}(1+ar)^2 - 2(1+ar) + \ln|1+ar|]$，代入上下限得$\displaystyle \frac{1}{a^3}[\frac{1}{2}(1+a)^2 - 2(1+a) + \ln(1+a) - (\frac{1}{2} - 2)] = \frac{1}{a^3}[\frac{1}{2}(a^2+2a+1) - 2 - 2a + \ln(1+a) + \frac{3}{2}] = \frac{1}{a^3}[\frac{a^2}{2} + a + \frac{1}{2} - 2 - 2a + \ln(1+a) + \frac{3}{2}] = \frac{1}{a^3}[\frac{a^2}{2} - a + \ln(1+a)]$。 步骤7：再对$\theta$积分，$a=\cos2\theta$，$\displaystyle \sin\theta\cos\theta d\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta d\theta$，积分$\displaystyle 4\int_0^{\pi/4} \frac{1}{2}\sin2\theta \cdot \frac{1}{\cos^3 2\theta}[\frac{1}{2}\cos^2 2\theta - \cos2\theta + \ln(1+\cos2\theta)] d\theta$，令$u=\cos2\theta$，则$\theta:0\to\pi/4$对应$u:1\to0$，$du=-2\sin2\theta d\theta$，$\displaystyle \sin2\theta d\theta = -\frac{1}{2}du$，积分化为$\displaystyle 4\int_1^0 \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}du) \frac{1}{u^3}[\frac{1}{2}u^2 - u + \ln(1+u)] = -\int_1^0 \frac{1}{u^3}[\frac{1}{2}u^2 - u + \ln(1+u)] du = \int_0^1 \frac{1}{u^3}[\frac{1}{2}u^2 - u + \ln(1+u)] du$。 步骤8：计算该积分，$\int_0^1 (\frac{1}{2u} - \frac{1}{u^