kaoyan1basic 高等数学 第39题

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📝 题目

### 【强化篇】第39题（解答题） 39．设连续函数 $f(x)$ 满足

$$ f(x)=x \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} \sigma+x^{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+x^{3} $$

其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right.\right\}$ ，求 $f(x)$ 的表达式．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{\pi}{2}x^2+\frac{\pi}{2}x$ **解析**：步骤1：令$A=\iint_{D}f(x+y)\mathrm{d}\sigma$，$B=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$，则$f(x)=xA+x^2B+x^3$。 步骤2：计算$B$：$\displaystyle B=\int_{0}^{1}(xA+x^2B+x^3)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{4}$，解得$\displaystyle B=\frac{3}{4}A+\frac{3}{8}$。 步骤3：计算$A$：利用极坐标变换，$x+y=r(\cos\theta+\sin\theta)$，$D$为圆域$\displaystyle r^2\leq\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，则$A=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi^{-1/4}}f(r(\cos\theta+\sin\theta))r\mathrm{d}r$。由于$f$为线性形式，设$f(t)=t^3+\alpha t^2+\beta t$，代入积分得$\displaystyle A=\frac{\pi}{2}\beta$。 步骤4：由$f(x)=xA+x^2B+x^3$比较系数得$\beta=A$，$\alpha=B$，结合$\displaystyle B=\frac{3}{4}A+\frac{3}{8}$和$\displaystyle A=\frac{\pi}{2}\beta$，解得$\displaystyle A=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle B=\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{\pi}{2}x^2+\frac{\pi}{2}x$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入常数简化方程
令 $A=\iint_{D}f(x+y)\mathrm{d}\sigma$，$B=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$，则原方程化为 $f(x)=xA+x^2B+x^3$。
公式：$f(x)=xA+x^2B+x^3$
提示：注意 $A$ 和 $B$ 是常数，因为积分结果与 $x$ 无关。
步骤 2/4
目标：计算常数 B
将 $f(x)=xA+x^2B+x^3$ 代入 $B=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$，得 $B=\int_{0}^{1}(xA+x^2B+x^3)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{4}$。解此方程得 $B = \frac{3}{4}A + \frac{3}{8}$。
公式：$B = \frac{1}{2}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{4}$
提示：积分时注意 $A$ 和 $B$ 是常数，可直接提出积分号。
步骤 3/4
目标：计算常数 A
利用极坐标变换：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $x+y=r(\cos\theta+\sin\theta)$，积分区域 $D$ 为 $r^2 \leq \frac{1}{\sqrt{\pi}}$，即 $0\leq r\leq \pi^{-1/4}$，$0\leq\theta\leq 2\pi$。于是 $A=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi^{-1/4}} f(r(\cos\theta+\sin\theta)) r \mathrm{d}r$。由于 $f$ 是多项式，设 $f(t)=t^3+\alpha t^2+\beta t$，代入积分并利用对称性可得 $A=\frac{\pi}{2}\beta$。
公式：$A=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi^{-1/4}} f(r(\cos\theta+\sin\theta)) r \mathrm{d}r$
提示：利用 $\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\mathrm{d}\theta=0$，$\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\pi$ 等简化积分。
步骤 4/4
目标：比较系数求解
由 $f(x)=xA+x^2B+x^3$ 与 $f(x)=x^3+\alpha x^2+\beta x$ 比较系数得 $\alpha = B$，$\beta = A$。结合 $B=\frac{3}{4}A+\frac{3}{8}$ 和 $A=\frac{\pi}{2}\beta = \frac{\pi}{2}A$，解得 $A=\frac{\pi}{2}$，$B=\frac{\pi}{2}$。因此 $f(x)=x^3+\frac{\pi}{2}x^2+\frac{\pi}{2}x$。
公式：$\alpha = B$，$\beta = A$
提示：注意 $A$ 和 $B$ 是常数，解方程组时小心计算。

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