kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{arccot}\left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0), \\ \frac{\pi}{2}, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 平面区域 $D=\{(x, y)\} \left.x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi a^{2}} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=(\quad)$ ． （A）$\pi$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C） 0 （D）$\infty$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由积分中值定理，$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\pi a^2$，其中$(\xi,\eta)\in D$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{1}{\pi a^2}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{(\xi,\eta)\to(0,0)}f(\xi,\eta)=f(0,0)=\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用积分中值定理
由于区域D是闭区域且f(x,y)连续，由积分中值定理，存在点(ξ,η)∈D使得∬_D f(x,y) dσ = f(ξ,η) · πa^2。
公式：∬_D f(x,y) dσ = f(ξ,η) · πa^2
提示：注意f(x,y)在(0,0)处定义为π/2，且当(x,y)→(0,0)时f(x,y)连续。
步骤 2/3
目标：代入极限表达式
将积分中值定理的结果代入极限：lim_{a→0+} (1/(πa^2)) ∬_D f(x,y) dσ = lim_{a→0+} f(ξ,η)。由于a→0+时区域D收缩到原点，点(ξ,η)→(0,0)。
公式：lim_{a→0+} (1/(πa^2)) ∬_D f(x,y) dσ = lim_{(ξ,η)→(0,0)} f(ξ,η)
提示：极限过程a→0+对应(ξ,η)→(0,0)。
步骤 3/3
目标：计算极限值
由f(x,y)在(0,0)处连续且f(0,0)=π/2，故lim_{(ξ,η)→(0,0)} f(ξ,η) = π/2。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = π/2
提示：f(x,y)在(0,0)处定义为π/2，且当(x,y)≠(0,0)时表达式趋于π/2。
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