kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 【强化篇】第41题（解答题） 41．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \geqslant x \geqslant 0\right\}$ ，若 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x, y)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma=a>0$ ， $f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数． （1）计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ； （2）证明：存在 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得 $\displaystyle |f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{\sqrt{2}}{\pi} a$ ．
## 第15章 微分方程
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$；（2）略 **解析**：步骤1：区域$D$由$2x^2+y^2\leq2\sqrt{x^2+y^2}$和$y\geq x\geq0$确定，化为极坐标：$r^2(2\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq2r$，即$\displaystyle r\leq\frac{2}{1+\cos^2\theta}$，且$\displaystyle \theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$。 步骤2：计算$\displaystyle \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}\sigma=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2/(1+\cos^2\theta)}\frac{r}{\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}}\mathrm{d}r$。先对$r$积分：$\displaystyle \int_{0}^{2/(1+\cos^2\theta)}\frac{r}{\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}}\mathrm{d}r=\frac{1}{\cos^2\theta}(1-\sqrt{1-\frac{4\cos^2\theta}{(1+\cos^2\theta)^2}})$。化简得$\displaystyle \frac{2}{1+\cos^2\theta}$，再对$\theta$积分得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。 步骤3：由积分中值定理，存在$(\xi,\eta)\in D$使$\displaystyle \iint_{D}\frac{f(x,y)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}\sigma$，即$\displaystyle a=f(\xi,\eta)\cdot\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle |f(\xi,\eta)|=\frac{2a}{\pi}\geq\frac{\sqrt{2}a}{\pi}$。 **难度**：★★★★☆