kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．若 $f^{\prime}(x)-f(x)=2 x \mathrm{e}^{x}$ 的积分曲线没有极值点，但有拐点，则 $f(x)=()$ ． （A） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 1 \leqslant C<2$ （B） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 1 \leqslant C<2$ （C） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 0 \leqslant C<1$ （D） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 0 \leqslant C<1$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：解微分方程$f'(x)-f(x)=2xe^x$，通解为$f(x)=e^x(x^2+C)$。 步骤2：$f'(x)=e^x(x^2+2x+C)$，$f''(x)=e^x(x^2+4x+2+C)$。无极值点则$f'(x)$不变号，即$x^2+2x+C\geq0$恒成立，判别式$4-4C\leq0$，得$C\geq1$。有拐点则$f''(x)$变号，即$x^2+4x+2+C=0$有实根，判别式$16-4(2+C)\geq0$，得$C\leq2$。故$1\leq C<2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求解微分方程，得到通解形式
解一阶线性微分方程 f'(x) - f(x) = 2x e^x。先求齐次解：f_h(x) = C e^x。设特解形式为 f_p(x) = e^x (ax^2 + bx)，代入方程得 a=1, b=0，故特解为 f_p(x) = x^2 e^x。通解为 f(x) = e^x (x^2 + C)。
公式：f'(x) - f(x) = 2x e^x ⇒ f(x) = e^x (x^2 + C)
提示：注意特解形式的选择，由于非齐次项为 2x e^x，且齐次解有 e^x，故特解应设为 e^x 乘以二次多项式。
步骤 2/5
目标：利用无极值点条件确定 C 的范围
计算一阶导数：f'(x) = e^x (x^2 + 2x + C)。无极值点意味着 f'(x) 不变号，即 x^2 + 2x + C ≥ 0 恒成立。判别式 Δ = 4 - 4C ≤ 0，解得 C ≥ 1。
公式：f'(x) = e^x (x^2 + 2x + C)；判别式 Δ = 4 - 4C ≤ 0 ⇒ C ≥ 1
提示：注意 e^x > 0，所以符号由二次式决定。
步骤 3/5
目标：利用有拐点条件确定 C 的范围
计算二阶导数：f''(x) = e^x (x^2 + 4x + 2 + C)。有拐点意味着 f''(x) 变号，即方程 x^2 + 4x + 2 + C = 0 有实根。判别式 Δ = 16 - 4(2 + C) ≥ 0，解得 C ≤ 2。
公式：f''(x) = e^x (x^2 + 4x + 2 + C)；判别式 Δ = 16 - 4(2 + C) ≥ 0 ⇒ C ≤ 2
提示：拐点要求二阶导数变号，即方程有实根且根两侧符号相反。
步骤 4/5
目标：综合条件得出 C 的取值范围
由无极值点得 C ≥ 1，由有拐点得 C ≤ 2，且拐点存在要求严格变号，故 C < 2（若 C=2，则 f''(x)=e^x (x+2)^2 ≥ 0，不变号）。因此 1 ≤ C < 2。
公式：1 ≤ C < 2
提示：注意等号是否可取：C=2 时二阶导数恒非负，无拐点，故排除。
步骤 5/5
目标：匹配选项
通解为 f(x) = e^x (x^2 + C)，且 1 ≤ C < 2，对应选项 B。
提示：选项 B 为 e^x (x^2 + C), 1 ≤ C < 2。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。