kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．以 $y_{1}=x^{2}$ 和 $y_{2}=x^{2}-\mathrm{e}^{2 x}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y'-\frac{2}{x}y=-2e^{2x}$ **解析**：步骤1：设一阶非齐次线性微分方程为$y'+P(x)y=Q(x)$，特解$y_1=x^2$，$y_2=x^2-e^{2x}$，则齐次解为$y_1-y_2=e^{2x}$。 步骤2：齐次方程$y'+P(x)y=0$有解$e^{2x}$，代入得$2e^{2x}+P(x)e^{2x}=0$，解得$P(x)=-2$。 步骤3：将$y_1=x^2$代入$y'-2y=Q(x)$得$2x-2x^2=Q(x)$，故方程为$y'-2y=2x-2x^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设微分方程形式并利用特解关系求齐次解
设一阶非齐次线性微分方程为 y' + P(x)y = Q(x)。已知特解 y1 = x^2 和 y2 = x^2 - e^{2x}，则齐次解为 y1 - y2 = e^{2x}。
公式：y' + P(x)y = Q(x)
提示：非齐次方程的两个特解之差是齐次方程的解。
步骤 2/3
目标：代入齐次解求P(x)
将齐次解 e^{2x} 代入齐次方程 y' + P(x)y = 0，得 2e^{2x} + P(x)e^{2x} = 0，解得 P(x) = -2。
公式：y' + P(x)y = 0
提示：代入后约去非零因子 e^{2x}。
步骤 3/3
目标：代入一个特解求Q(x)
将 y1 = x^2 代入原方程 y' - 2y = Q(x)，得 2x - 2x^2 = Q(x)。因此微分方程为 y' - 2y = 2x - 2x^2。
公式：y' - 2y = Q(x)
提示：注意P(x)为-2，所以方程是y' - 2y = Q(x)。
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