kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设一曲线过点 $(\mathrm{e}, 1)$ ，且此曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的法线斜率为 $\displaystyle \frac{-x \ln x}{x+y \ln x}$ ，则此曲线方程为（ ）。 （A）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln (\ln x)$ （B）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+\ln (\ln x)$ （C）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln x$ （D）$y=\mathrm{e} x+x \ln (\ln x)$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：法线斜率为$\displaystyle -\frac{x\ln x}{x+y\ln x}$，则切线斜率为$\displaystyle \frac{x+y\ln x}{x\ln x}$，即$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x+y\ln x}{x\ln x}$。 步骤2：化为$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{x\ln x}y=\frac{1}{\ln x}$，一阶线性微分方程，通解$\displaystyle y=e^{\int\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}\left(\int\frac{1}{\ln x}e^{-\int\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)=x\ln x(\ln(\ln x)+C)$。 步骤3：代入点$(\mathrm{e},1)$得$1=\mathrm{e}\cdot1\cdot(\ln1+C)$，解得$\displaystyle C=\frac{1}{\mathrm{e}}$，故$\displaystyle y=x\ln x(\ln(\ln x)+\frac{1}{\mathrm{e}})=\frac{x}{\mathrm{e}}+x\ln(\ln x)$。 **难度**：★★★☆☆