kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．已每微分方程 $y^{\prime}+y=e^{(m) ~} 2$ ，证明方程存在唯一的以 $2 \pi$ 为周期的解。
💡 答案解析
**答案**：略 **解析**：步骤1：方程$y'+y=e^{(m)~}2$（疑为$y'+y=e^{x}$？但原题有误，按标准形式$y'+y=f(x)$周期解存在唯一性证明）。 步骤2：通解$y=e^{-x}\left(\int e^{x}f(x)\mathrm{d}x+C\right)$。若$f(x)$以$2\pi$为周期，则解以$2\pi$为周期当且仅当$y(0)=y(2\pi)$，即$C=e^{-2\pi}\left(\int_0^{2\pi}e^{x}f(x)\mathrm{d}x+C\right)$，解得$\displaystyle C=\frac{1}{e^{2\pi}-1}\int_0^{2\pi}e^{x}f(x)\mathrm{d}x$，唯一确定。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出微分方程的通解形式
对于一阶线性微分方程 $y' + y = f(x)$，其通解为 $y = e^{-x} \left( \int e^x f(x) \, dx + C \right)$。
公式：$y = e^{-x} \left( \int e^x f(x) \, dx + C \right)$
提示：注意积分常数 $C$ 的任意性。
步骤 2/4
目标：利用周期性条件确定常数 $C$
若 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，则解 $y(x)$ 以 $2\pi$ 为周期当且仅当 $y(0) = y(2\pi)$。代入通解表达式，得到 $C = e^{-2\pi} \left( \int_0^{2\pi} e^x f(x) \, dx + C \right)$。
公式：$y(0) = y(2\pi)$
提示：周期解要求边界条件相等。
步骤 3/4
目标：解出 $C$ 的唯一表达式
由 $C = e^{-2\pi} \left( \int_0^{2\pi} e^x f(x) \, dx + C \right)$ 解得 $C = \frac{1}{e^{2\pi} - 1} \int_0^{2\pi} e^x f(x) \, dx$，该值唯一确定。
公式：$C = \frac{1}{e^{2\pi} - 1} \int_0^{2\pi} e^x f(x) \, dx$
提示：分母 $e^{2\pi} - 1 \neq 0$，故 $C$ 唯一。
步骤 4/4
目标：结论
因此，存在唯一的以 $2\pi$ 为周期的解。
提示：唯一性由 $C$ 唯一确定保证。
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