kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．微分方程 $y^{\prime} \sec ^{2} y-\sec ^{2} y-1=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\tan y=x+\arctan x+C$ **解析**：步骤1：方程化为$y'\sec^2 y=\sec^2 y+1$，即$\displaystyle \frac{\mathrm{d}(\tan y)}{\mathrm{d}x}=1+\tan^2 y+1=\tan^2 y+2$。 步骤2：分离变量$\displaystyle \frac{\mathrm{d}(\tan y)}{\tan^2 y+2}=\mathrm{d}x$，积分得$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan y}{\sqrt{2}}=x+C$，即$\tan y=\sqrt{2}\tan(\sqrt{2}x+C)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程化为关于tan y的微分方程
原方程 $y' \sec^2 y - \sec^2 y - 1 = 0$ 移项得 $y' \sec^2 y = \sec^2 y + 1$。注意到 $\frac{d}{dx}(\tan y) = y' \sec^2 y$，且 $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$，代入得 $\frac{d(\tan y)}{dx} = (1 + \tan^2 y) + 1 = \tan^2 y + 2$。
公式：$\frac{d}{dx}(\tan y) = y' \sec^2 y$，$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$
提示：识别出 $y' \sec^2 y$ 是 $\tan y$ 的导数，简化方程。
步骤 2/3
目标：分离变量并积分
令 $u = \tan y$，则方程化为 $\frac{du}{dx} = u^2 + 2$。分离变量得 $\frac{du}{u^2 + 2} = dx$。两边积分：$\int \frac{du}{u^2 + 2} = \int dx$。计算积分：$\int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C_1$，$\int dx = x + C_2$。合并常数得 $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) = x + C$。
公式：$\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$
提示：注意积分常数可以合并为一个。
步骤 3/3
目标：解出tan y并得到通解
由 $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan y}{\sqrt{2}}\right) = x + C$，两边乘以 $\sqrt{2}$ 得 $\arctan\left(\frac{\tan y}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}x + \sqrt{2}C$。令 $C_1 = \sqrt{2}C$，则 $\arctan\left(\frac{\tan y}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}x + C_1$。两边取正切得 $\frac{\tan y}{\sqrt{2}} = \tan(\sqrt{2}x + C_1)$，即 $\tan y = \sqrt{2} \tan(\sqrt{2}x + C_1)$。
公式：$\tan(\arctan u) = u$
提示：注意常数重命名不影响通解形式。
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