kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_{u}^{\prime}(u, v)+f_{v}^{\prime}(u, v)=u v$ ，则函数 $y=\mathrm{e}^{-2 x} f(x, x)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x-0}=1$ 的表达式为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2e^{-2x}+e^{-2x}$ **解析**：步骤1：令$u=x$，$v=x$，则$y=e^{-2x}f(x,x)$，求导得$y'=-2e^{-2x}f(x,x)+e^{-2x}(f_u'+f_v')$。 步骤2：由条件$f_u'+f_v'=uv=x^2$，代入得$y'=-2y+e^{-2x}x^2$，即$y'+2y=x^2e^{-2x}$。 步骤3：解一阶线性微分方程，通解$\displaystyle y=e^{-2x}\left(\int x^2\mathrm{d}x+C\right)=e^{-2x}\left(\frac{x^3}{3}+C\right)$，代入$y(0)=1$得$C=1$，故$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^3e^{-2x}+e^{-2x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立y与f的关系并求导
令u=x，v=x，则y=e^{-2x}f(x,x)。对x求导得y'=-2e^{-2x}f(x,x)+e^{-2x}(f_u'+f_v')。
公式：y' = -2e^{-2x}f(x,x) + e^{-2x}(f_u'+f_v')
提示：注意复合函数求导时，f_u'和f_v'是偏导数，代入u=v=x。
步骤 2/3
目标：利用已知条件化简微分方程
由条件f_u'+f_v'=uv=x^2，代入得y'=-2y+e^{-2x}x^2，即y'+2y=x^2e^{-2x}。
公式：y' + 2y = x^2 e^{-2x}
提示：将f(x,x)替换为y e^{2x}，但此处直接代入更简洁。
步骤 3/3
目标：解一阶线性微分方程
通解公式：y=e^{-∫2dx}(∫x^2e^{-2x}e^{∫2dx}dx+C)=e^{-2x}(∫x^2dx+C)=e^{-2x}(x^3/3+C)。代入初始条件y(0)=1得C=1。
公式：y = e^{-2x}(∫x^2 dx + C) = e^{-2x}(x^3/3 + C)
提示：注意积分时e^{-2x}与e^{2x}抵消，简化计算。
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