kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有水平浙近线 $y=b \neq 0$ ，则 ． （A）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （B）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$ （C）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （D）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：一阶线性微分方程$y'+ay=f(x)$的通解为$y=e^{-ax}\left(\int e^{ax}f(x)\mathrm{d}x+C\right)$。 步骤2：当$a>0$时，$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\int e^{ax}f(x)\mathrm{d}x}{e^{ax}}$，由洛必达法则得$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{ax}f(x)}{ae^{ax}}=\frac{b}{a}$。 **难度**：★★★☆☆