kaoyan1basic 高等数学 第5题

**答案**：$x=\arctan y+Ce^{-\arctan y}$ **解析**：步骤1：方程化为$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+\frac{1}{1+y^2}x=\frac{\arctan y}{1+y^2}$，视为以$y$为自变量的一阶线性微分方程。 步骤2：通解$\displaystyle x=e^{-\int\frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}y}\left(\int\frac{\arctan y}{1+y^2}e^{\int\frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C\right)=e^{-\arctan y}\left(\int\frac{\arctan y}{1+y^2}e^{\arctan y}\mathrm{d}y+C\right)$。 步骤3：令$u=\arctan y$，则$\displaystyle \int\frac{\arctan y}{1+y^2}e^{\arctan y}\mathrm{d}y=\int u e^u\mathrm{d}u=(u-1)e^u+C$，故$x=e^{-\arctan y}((\arctan y-1)e^{\arctan y}+C)=\arctan y-1+Ce^{-\arctan y}$。 **难度**：★★★☆☆