kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．若二阶常系数齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上均有周期性，则（ （A）$a<0, b<0$ （B）$a>0, b>0$ （C）$a=0, b<0$ （D）$a=0, b>0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：特征方程$r^2+ar+b=0$，解在$(-\infty,+\infty)$上周期则特征根为纯虚数，即$r=\pm i\omega$。 步骤2：此时$a=0$，$b=\omega^2>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析周期性条件与特征根的关系
二阶常系数齐次微分方程的解在全体实数上具有周期性，当且仅当特征根为纯虚数，即实部为零。
公式：特征方程：r^2 + a r + b = 0
提示：周期解对应特征根为共轭纯虚数，实部为0。
步骤 2/2
目标：由特征根为纯虚数推导参数条件
设特征根为 r = ±iω (ω>0)，则特征方程为 (r - iω)(r + iω) = r^2 + ω^2 = 0，对比原方程得 a=0，b=ω^2>0。
公式：r^2 + ω^2 = 0 ⇒ a=0, b=ω^2>0
提示：注意纯虚数根时，一次项系数a必须为0，常数项b为正数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。