kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设函数 $y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+\frac{1}{x^{2}} y=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 满足 $\displaystyle y\left(\frac{1}{2}\right)=0$ 的解。 （1）求 $y=y(x)$ 的表达式；公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （2）求曲线 $y(x)$ 的斜渐近线。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle y=2e^{\frac{1}{x}}(x-1)$；（2）$y=2x-3$ **解析**：步骤1：解一阶线性微分方程$\displaystyle y'+\frac{1}{x^2}y=2e^{\frac{1}{x}}$，通解$\displaystyle y=e^{\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x}\left(\int2e^{\frac{1}{x}}e^{-\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)=e^{-\frac{1}{x}}\left(\int2e^{\frac{2}{x}}\mathrm{d}x+C\right)$。 步骤2：令$\displaystyle u=\frac{1}{x}$，则$\displaystyle \int2e^{\frac{2}{x}}\mathrm{d}x=-2\int\frac{e^{2u}}{u^2}\mathrm{d}u$，积分得$\displaystyle 2e^{\frac{1}{x}}x$，故$\displaystyle y=e^{-\frac{1}{x}}(2xe^{\frac{1}{x}}+C)=2x+Ce^{-\frac{1}{x}}$。 步骤3：代入$\displaystyle y(\frac{1}{2})=0$得$1+Ce^{-2}=0$，$C=-e^2$，故$\displaystyle y=2x-e^{2-\frac{1}{x}}$。 步骤4：斜渐近线$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=2$，$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}(y-2x)=\lim_{x\to\infty}(-e^{2-\frac{1}{x}})=-e^2$，故渐近线$y=2x-e^2$。 **难度**：★★★★☆