kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．微分方程 $x+y y^{\prime}=y-x y^{\prime}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^2+y^2=2\arctan\frac{y}{x}+C$ **解析**：步骤1：方程化为$\displaystyle x+y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，整理得$(x+y)\mathrm{d}x+(y-x)\mathrm{d}y=0$。 步骤2：化为全微分方程，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y-x)=-1$，不是全微分。乘以积分因子$\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$得$\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{y-x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=0$。 步骤3：验证为全微分，原函数$\displaystyle u=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)-\arctan\frac{y}{x}$，通解为$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)-\arctan\frac{y}{x}=C$，即$\displaystyle x^2+y^2=Ce^{2\arctan\frac{y}{x}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程化为微分形式
原方程 $x+yy'=y-xy'$，其中 $y'=\frac{dy}{dx}$，代入得 $x+y\frac{dy}{dx}=y-x\frac{dy}{dx}$，两边乘以 $dx$ 整理得 $(x+y)dx+(y-x)dy=0$。
公式：$(x+y)dx+(y-x)dy=0$
提示：注意将导数形式转化为微分形式。
步骤 2/3
目标：判断是否为全微分方程并寻找积分因子
令 $P(x,y)=x+y$，$Q(x,y)=y-x$，计算 $\frac{\partial P}{\partial y}=1$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=-1$，不相等，故不是全微分方程。考虑积分因子 $\mu=\frac{1}{x^2+y^2}$，乘以方程得 $\frac{x+y}{x^2+y^2}dx+\frac{y-x}{x^2+y^2}dy=0$。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y}=1,\frac{\partial Q}{\partial x}=-1$；积分因子 $\mu=\frac{1}{x^2+y^2}$
提示：常见积分因子形式：$\frac{1}{x^2+y^2}$ 适用于 $P$ 和 $Q$ 满足特定条件。
步骤 3/3
目标：验证新方程为全微分并求原函数
令 $\tilde{P}=\frac{x+y}{x^2+y^2}$，$\tilde{Q}=\frac{y-x}{x^2+y^2}$，计算 $\frac{\partial \tilde{P}}{\partial y}=\frac{(x^2+y^2)-2y(x+y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2-y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}$，$\frac{\partial \tilde{Q}}{\partial x}=\frac{-(x^2+y^2)-2x(y-x)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-x^2-y^2-2xy+2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2-y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相等，故为全微分。求原函数 $u$：$\frac{\partial u}{\partial x}=\tilde{P}$，积分得 $u=\int \frac{x+y}{x^2+y^2}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\frac{x}{y}+\phi(y)$，再对 $y$ 求导并与 $\tilde{Q}$ 比较得 $\phi'(y)=0$，故 $u=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\frac{x}{y}$。注意 $\arctan\frac{x}{y}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{y}{x}$，常数可合并，故通解为 $\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)-\arctan\frac{y}{x}=C$，即 $x^2+y^2=Ce^{2\arctan\frac{y}{x}}$。
公式：$u=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)-\arctan\frac{y}{x}$；通解 $x^2+y^2=Ce^{2\arctan\frac{y}{x}}$
提示：求原函数时注意积分顺序，并利用偏导数比较确定任意函数。
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