kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．已知微分方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}=t+\frac{1}{y^{\prime}}$ 满足 $y(0)=0$ ． （1）求该微分方程的特解 $y=y(t)$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{1+t^{2}}, \\ y=y(t),\end{array}\right.$ 计算 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}$ ．
💡 答案解析
**答案**： (1) $y(t)=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ (2) $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=-\frac{1}{2}$
**解析**： 步骤1：由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}=t+\frac{1}{y^{\prime}}$ 得 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{\mathrm{e}^{y}-t}$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\mathrm{e}^{y}-t}$，改写为 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=\mathrm{e}^{y}-t$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}+t=\mathrm{e}^{y}$。 步骤2：解一阶线性微分方程，通解 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-\int 1\mathrm{d}y}\left(\int \mathrm{e}^{y}\mathrm{e}^{\int 1\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C\right)=\mathrm{e}^{-y}\left(\int \mathrm{e}^{2y}\mathrm{d}y+C\right)=\mathrm{e}^{-y}\left(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2y}+C\right)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{y}+C\mathrm{e}^{-y}$。 步骤3：由 $y(0)=0$ 得 $\displaystyle 0=\frac{1}{2}+C$，$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故 $\displaystyle t=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{y}-\mathrm{e}^{-y})=\sinh y$，所以 $y=\operatorname{arsinh} t=\ln\left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right)$。 步骤4：$x=\sqrt{1+t^{2}}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{1/\sqrt{1+t^{2}}}{t/\sqrt{1+t^{2}}}=\frac{1}{t}$。 步骤5：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{t}\right)\Big/\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{t^{2}}\Big/\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}=-\frac{\sqrt{1+t^{2}}}{t^{3}}$，代入 $t=1$ 得 $-\sqrt{2}$。
**难度**：★★★☆☆