kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．以 $y=x$ 与 $y=x \mathrm{e}^{-2 r}$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程为 ． （A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ （C）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}=0$ （D）$y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0$
💡 答案解析
**答案**：D
**解析**： 步骤1：特解 $y=x$ 对应特征根 $r=0$（二重根，因 $x$ 是多项式解），$y=x\mathrm{e}^{-2x}$ 对应特征根 $r=-2$（二重根，因 $x\mathrm{e}^{-2x}$ 形式）。 步骤2：特征根为 $r=0$（二重），$r=-2$（二重），特征方程为 $r^{2}(r+2)^{2}=0$，即 $r^{4}+4r^{3}+4r^{2}=0$。 步骤3：对应微分方程为 $y^{(4)}+4y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}=0$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析特解对应的特征根
特解 y=x 对应特征根 r=0，且为二重根，因为多项式解 x 对应重根。特解 y=xe^{-2x} 对应特征根 r=-2，也为二重根，因为 xe^{-2x} 形式对应重根。
提示：注意：y=x 是多项式解，通常对应零特征根的重数至少为1；y=xe^{-2x} 对应特征根 -2 的重数至少为1。
步骤 2/3
目标：写出特征方程
特征根为 r=0（二重）和 r=-2（二重），因此特征方程为 r^2 (r+2)^2 = 0，展开得 r^4 + 4r^3 + 4r^2 = 0。
公式：r^2 (r+2)^2 = 0
提示：特征方程由特征根直接写出，注意重根对应幂次。
步骤 3/3
目标：由特征方程写出微分方程
特征方程 r^4 + 4r^3 + 4r^2 = 0 对应微分方程为 y^{(4)} + 4y''' + 4y'' = 0。
公式：y^{(4)} + 4y''' + 4y'' = 0
提示：特征方程中 r^k 对应 y 的 k 阶导数。
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