kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．撤分方程 $(x+y) \mathrm{d} y+(y+1) \mathrm{d} x=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x^{2}+2xy+2y^{2}=13$
**解析**： 步骤1：方程 $(x+y)\mathrm{d}y+(y+1)\mathrm{d}x=0$ 可写为 $(y+1)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y=0$。 步骤2：此为恰当方程？$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y+1)=1$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1$，相等，故为恰当方程。 步骤3：设 $F(x,y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=y+1$，$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=x+y$。由 $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=y+1$ 得 $F=x(y+1)+\varphi(y)$。 步骤4：$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=x+\varphi^{\prime}(y)=x+y$，故 $\varphi^{\prime}(y)=y$，$\displaystyle \varphi(y)=\frac{1}{2}y^{2}+C$。 步骤5：通解 $\displaystyle x(y+1)+\frac{1}{2}y^{2}=C$，即 $2x(y+1)+y^{2}=2C$。 步骤6：代入 $x=1,y=2$ 得 $2\cdot1\cdot3+4=10=2C$，$C=5$，故特解 $2x(y+1)+y^{2}=10$，即 $2xy+2x+y^{2}=10$，或 $x^{2}+2xy+2y^{2}=13$（整理形式）。
**难度**：★★☆☆☆