kaoyan1basic 高等数学 第10题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)| \leqslant k$（ $k$ 为常数），求微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\varphi(x)$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y(x)$ ，并证明当 $x \geqslant 0$ 时，有 $|y(x)| \leqslant k\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$ 。

💡 答案解析

**答案**：$y(x)=\mathrm{e}^{-x}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t}\varphi(t)\mathrm{d}t$，证明略

**解析**： 步骤1：一阶线性微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=\varphi(x)$，通解 $y=\mathrm{e}^{-\int 1\mathrm{d}x}\left(\int \varphi(x)\mathrm{e}^{\int 1\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(\int \varphi(x)\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x+C\right)$。 步骤2：由 $y(0)=0$ 得 $0=\mathrm{e}^{0}(0+C)$，$C=0$，故 $y(x)=\mathrm{e}^{-x}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t}\varphi(t)\mathrm{d}t$。 步骤3：当 $x\geq0$ 时，$|y(x)|\leq \mathrm{e}^{-x}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t}|\varphi(t)|\mathrm{d}t\leq k\mathrm{e}^{-x}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t}\mathrm{d}t=k\mathrm{e}^{-x}(\mathrm{e}^{x}-1)=k(1-\mathrm{e}^{-x})$。

**难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求一阶线性微分方程的通解
方程为一阶线性微分方程 dy/dx + y = φ(x)，其中 P(x)=1，Q(x)=φ(x)。通解公式为 y = e^{-∫P dx} (∫Q e^{∫P dx} dx + C)。计算得 y = e^{-x} (∫ φ(x) e^{x} dx + C)。
公式：y = e^{-∫P dx} (∫Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：注意积分常数C的位置，以及指数函数的积分。
步骤 2/3
目标：利用初始条件确定常数C
代入初始条件 y(0)=0，得 0 = e^{0} (∫_0^0 φ(t) e^{t} dt + C) = C，所以 C=0。因此特解为 y(x) = e^{-x} ∫_0^x e^{t} φ(t) dt。
公式：y(0)=0 ⇒ C=0
提示：定积分下限取0，与初始条件一致。
步骤 3/3
目标：证明不等式 |y(x)| ≤ k(1-e^{-x})
当 x≥0 时，|y(x)| = |e^{-x} ∫_0^x e^{t} φ(t) dt| ≤ e^{-x} ∫_0^x e^{t} |φ(t)| dt ≤ k e^{-x} ∫_0^x e^{t} dt = k e^{-x} (e^{x}-1) = k(1-e^{-x})。
公式：|∫ f| ≤ ∫ |f|，|φ(t)| ≤ k
提示：利用绝对值的三角不等式和已知条件放缩。

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