kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．微分方椙 $\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x-2}=1$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x=y^{2}+y$
**解析**： 步骤1：方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 改写为 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x+y^{2}}{y}=\frac{x}{y}+y$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-\frac{1}{y}x=y$。 步骤2：一阶线性微分方程，通解 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y}\left(\int y\mathrm{e}^{-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C\right)=y\left(\int y\cdot\frac{1}{y}\mathrm{d}y+C\right)=y\left(\int 1\mathrm{d}y+C\right)=y(y+C)$。 步骤3：由 $y(2)=1$（注意初始条件 $x=2$ 时 $y=1$）得 $2=1\cdot(1+C)$，$C=1$，故特解 $x=y(y+1)=y^{2}+y$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原方程转化为关于x的一阶线性微分方程
原方程 dy/dx = y/(x+y^2) 可改写为 dx/dy = (x+y^2)/y = x/y + y，即 dx/dy - (1/y)x = y。
公式：dx/dy - (1/y)x = y
提示：注意将x视为y的函数，利用反函数求导关系。
步骤 2/4
目标：求解一阶线性微分方程的通解
通解公式：x = e^{∫(1/y)dy} [ ∫ y e^{-∫(1/y)dy} dy + C ] = y [ ∫ y * (1/y) dy + C ] = y [ ∫ 1 dy + C ] = y(y + C)。
公式：x = y(y + C)
提示：积分时注意常数C的添加。
步骤 3/4
目标：代入初始条件确定常数C
初始条件：x=2时y=1，代入得2 = 1*(1+C)，解得C=1。
公式：2 = 1 + C
提示：注意初始条件中x=2对应y=1。
步骤 4/4
目标：写出特解
将C=1代入通解得特解：x = y(y+1) = y^2 + y。
公式：x = y^2 + y
提示：最终结果通常写成x关于y的表达式。
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