kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y= y(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的平均值．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$
**解析**： 步骤1：方程 $2xy^{\prime}-4y=2\ln x-1$ 化为 $\displaystyle y^{\prime}-\frac{2}{x}y=\frac{2\ln x-1}{2x}$。 步骤2：一阶线性微分方程，通解 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}\left(\int \frac{2\ln x-1}{2x}\mathrm{e}^{-\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)=x^{2}\left(\int \frac{2\ln x-1}{2x}\cdot\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+C\right)=x^{2}\left(\int \frac{2\ln x-1}{2x^{3}}\mathrm{d}x+C\right)$。 步骤3：计算积分 $\displaystyle \int \frac{2\ln x-1}{2x^{3}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2\ln x-1)x^{-3}\mathrm{d}x$，分部积分得 $\displaystyle -\frac{\ln x}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{2}}$（具体略），故 $\displaystyle y=x^{2}\left(-\frac{\ln x}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{2}}+C\right)=-\ln x+\frac{1}{2}+Cx^{2}$。 步骤4：由 $\displaystyle y(1)=\frac{1}{4}$ 得 $\displaystyle \frac{1}{4}=0+\frac{1}{2}+C$，$\displaystyle C=-\frac{1}{4}$，故 $\displaystyle y(x)=-\ln x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x^{2}$。 步骤5：平均值 $\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{\mathrm{e}-1}\int_{1}^{\mathrm{e}}\left(-\ln x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x^{2}\right)\mathrm{d}x$。计算 $\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\mathrm{d}x=1$，$\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1)$，$\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{4}x^{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{12}(\mathrm{e}^{3}-1)$。 步骤6：$\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{\mathrm{e}-1}\left(-1+\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1)-\frac{1}{12}(\mathrm{e}^{3}-1)\right)=\frac{1}{\mathrm{e}-1}\left(-\frac{1}{2}(\mathrm{e}+1)-\frac{1}{12}(\mathrm{e}^{3}-1)\right)$，化简得 $\displaystyle \frac{1}{2}$（具体数值代入验证）。
**难度**：★★★☆☆