kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数，且对任意 $x>0$ 满足 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=-2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+ x f(x)+x^{1}, f(1)=0$ ．求函数 $f(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x-1$
**解析**： 步骤1：方程 $x\int_{0}^{1}f(tx)\mathrm{d}t=-2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)+x^{1}$（最后一项应为 $x$）。令 $u=tx$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}f(tx)\mathrm{d}t=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)\mathrm{d}u$，代入得 $\int_{0}^{x}f(u)\mathrm{d}u=-2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)+x$，即 $3\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t=xf(x)+x$。 步骤2：两边对 $x$ 求导得 $3f(x)=f(x)+xf^{\prime}(x)+1$，即 $2f(x)=xf^{\prime}(x)+1$，整理得 $\displaystyle f^{\prime}(x)-\frac{2}{x}f(x)=-\frac{1}{x}$。 步骤3：一阶线性微分方程，通解 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}\left(\int -\frac{1}{x}\mathrm{e}^{-\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)=x^{2}\left(\int -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+C\right)=x^{2}\left(\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x+C\right)=x^{2}\left(\frac{1}{2x^{2}}+C\right)=\frac{1}{2}+Cx^{2}$。 步骤4：由 $f(1)=0$ 得 $\displaystyle 0=\frac{1}{2}+C$，$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^{2}$。 （注：检查原题 $x^{1}$ 可能为 $x^{2}$，标准答案常为 $f(x)=x-1$，此处按推导得 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x^{2})$。）
**难度**：★★★★☆