kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(0,4)$ 处的切线垂直于直线 $x-2 y+5=0$ ，且该曲线满足微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，则此肺线方程为 ． （A）$\displaystyle y=\frac{9}{2} x \mathrm{c}^{-9}$ （B）$\displaystyle y=\left(4+\frac{9}{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}$ （C）$y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{-\cdots}$ （D）$y=2(x+2) \mathrm{e}^{-x}$
💡 答案解析
**答案**：B
**解析**： 步骤1：微分方程 $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0$ 的特征方程为 $r^{2}+2r+1=0$，$r=-1$（二重根），通解 $y=(C_{1}+C_{2}x)\mathrm{e}^{-x}$。 步骤2：直线 $x-2y+5=0$ 斜率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$，切线垂直于该直线，故切线斜率为 $-2$，即 $y^{\prime}(0)=-2$。 步骤3：由 $y(0)=4$ 得 $C_{1}=4$。由 $y^{\prime}(x)=C_{2}\mathrm{e}^{-x}-(C_{1}+C_{2}x)\mathrm{e}^{-x}$，$y^{\prime}(0)=C_{2}-C_{1}=-2$，得 $C_{2}=2$。 步骤4：曲线方程为 $y=(4+2x)\mathrm{e}^{-x}$，即选项B。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解微分方程的通解
微分方程 y''+2y'+y=0 的特征方程为 r^2+2r+1=0，解得 r=-1（二重根），因此通解为 y=(C1+C2 x)e^{-x}。
公式：y=(C1+C2 x)e^{-x}
提示：注意二重根对应线性无关解的形式。
步骤 2/4
目标：利用切线条件确定初始条件
直线 x-2y+5=0 的斜率为 1/2，切线垂直于该直线，故切线斜率为 -2，即 y'(0)=-2。又曲线过点 P(0,4)，所以 y(0)=4。
公式：y'(0)=-2, y(0)=4
提示：两直线垂直时斜率乘积为 -1。
步骤 3/4
目标：代入初始条件求解常数
由 y(0)=4 得 C1=4。求导得 y'=C2 e^{-x} - (C1+C2 x)e^{-x}，代入 x=0 得 y'(0)=C2 - C1 = -2，解得 C2=2。
公式：y'(0)=C2-C1=-2
提示：求导时注意乘积法则。
步骤 4/4
目标：写出曲线方程并选择正确选项
曲线方程为 y=(4+2x)e^{-x}，对应选项 B。
公式：y=(4+2x)e^{-x}
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