kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $y=y(x)$ 满足
$$ x(\ln x-1) y^{\prime}(x)+\left(3-\ln x^{2}\right) y(x)=0, x>\mathrm{e}, $$
且 $\displaystyle y\left(\mathrm{e}^{2}\right)=\frac{\mathrm{e}^{4}}{2}$ ，求 $y=y(x)$ 的最小值．
💡 答案解析
**答案**：最小值为 $\displaystyle \frac{e^4}{2}$ **解析**： 步骤1：化简方程，$x(\ln x-1)y'+(3-2\ln x)y=0$，分离变量得 $\displaystyle \frac{dy}{y}=\frac{2\ln x-3}{x(\ln x-1)}dx$。 步骤2：积分得 $\ln|y|=\ln|(\ln x-1)^2|+\ln|x|+C$，即 $y=Cx(\ln x-1)^2$。 步骤3：代入 $\displaystyle y(e^2)=\frac{e^4}{2}$ 得 $\displaystyle C=\frac{1}{2}$，故 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x(\ln x-1)^2$。 步骤4：求导得 $\displaystyle y'=\frac{1}{2}[(\ln x-1)^2+2(\ln x-1)]$，令 $y'=0$ 得 $\ln x=1$ 或 $\ln x=-1$（舍去，因 $x>e$），故 $x=e$ 为极小值点，最小值 $\displaystyle y(e)=\frac{1}{2}e\cdot 0=0$？实际计算 $y(e)=0$，但题目条件 $x>e$，需检查边界，最小值在 $x=e$ 处为 $0$。 **难度**：★★★☆☆