kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．微分方程 $\displaystyle 4 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}\left(3 x^{2}+2\right)$ 的特解形式为 ． （A）$\displaystyle A x^{2}+B x+C+D \mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}$ （B）$\displaystyle \left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$ （C）$\displaystyle x\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$ （D）$\displaystyle x^{2}\left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：特征方程 $4r^2-12r+9=0$，解得 $\displaystyle r=\frac{3}{2}$（二重根）。 步骤2：非齐次项 $\displaystyle e^{\frac{3}{2}x}(3x^2+2)$，对应齐次解中已有 $\displaystyle e^{\frac{3}{2}x}$ 和 $\displaystyle xe^{\frac{3}{2}x}$，故特解形式设为 $\displaystyle x^2(Ax^2+Bx+C)e^{\frac{3}{2}x}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解特征方程
写出特征方程 4r^2 - 12r + 9 = 0，解得 r = 3/2（二重根）。
公式：4r^2 - 12r + 9 = 0
提示：注意特征方程系数与微分方程对应。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项形式
非齐次项为 e^{(3/2)x}(3x^2+2)，其中指数部分与特征根重合，且为二重根，多项式部分为二次多项式。
公式：非齐次项形式：e^{αx}P_m(x)，α=3/2，m=2
提示：判断α是否为特征根，以及重数。
步骤 3/3
目标：设定特解形式
由于α是二重特征根，特解需乘以x^2，故设特解为 x^2(Ax^2+Bx+C)e^{(3/2)x}。
公式：特解形式：x^k Q_m(x)e^{αx}，k为重数，Q_m为m次多项式
提示：多项式次数与非齐次项中多项式次数相同。
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