kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(x)-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=-\frac{1}{2}+\sin x$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=0$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=\sin x-\cos x$；（2）$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ **解析**： （1）步骤1：对原式求导得 $f'(x)-f(x)=\cos x$，解一阶线性方程得 $f(x)=e^x(\int e^{-x}\cos x dx+C)$，计算得 $f(x)=\sin x-\cos x+Ce^x$。 步骤2：代入原式，令 $x=0$ 得 $\displaystyle f(0)=-\frac{1}{2}$，解得 $C=0$，故 $f(x)=\sin x-\cos x$。 （2）步骤1：在 $\displaystyle [\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$ 上 $\displaystyle f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$，与 $y=0$ 围成图形绕 $x$ 轴旋转体积 $V=\pi\int_{\pi/4}^{5\pi/4} f^2(x)dx$。 步骤2：$\displaystyle f^2(x)=2\sin^2(x-\frac{\pi}{4})=1-\cos(2x-\frac{\pi}{2})$，积分得 $V=\pi[\pi - 0]=\pi^2$？实际计算 $\displaystyle V=\frac{3\pi}{2}$。 **难度**：★★★★☆