kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=8 \cos x$ ，当 $x \rightarrow-\infty$ 时为有界的特解。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+\frac{4}{5}\cos x+\frac{2}{5}\sin x$ **解析**： 步骤1：齐次方程特征根 $r=-2\pm i$，齐次通解 $y_h=e^{-2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)$。 步骤2：设特解 $y^*=A\cos x+B\sin x$，代入得 $(4A+4B)\cos x+(-4A+4B)\sin x=8\cos x$，解得 $\displaystyle A=\frac{4}{5}, B=\frac{2}{5}$。 步骤3：为使 $x\to -\infty$ 时有界，需消去 $e^{-2x}$ 项（当 $x\to -\infty$ 时发散），令 $C_1=C_2=0$，故特解即为所求。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y''+4y'+5y=0，特征方程为 r^2+4r+5=0，解得 r=-2±i，因此齐次通解为 y_h = e^{-2x}(C1 cos x + C2 sin x)。
公式：r^2+4r+5=0 → r=-2±i
提示：注意特征根为共轭复数，通解形式为 e^{αx}(C1 cos βx + C2 sin βx)。
步骤 2/3
目标：求非齐次方程的一个特解
由于右端项为 8 cos x，设特解 y* = A cos x + B sin x，代入原方程，比较系数得方程组：4A+4B=8，-4A+4B=0，解得 A=4/5，B=2/5，故特解 y* = (4/5) cos x + (2/5) sin x。
公式：设 y* = A cos x + B sin x，代入后比较系数
提示：注意代入后要合并同类项，得到关于 cos x 和 sin x 的方程。
步骤 3/3
目标：确定有界特解
通解为 y = y_h + y* = e^{-2x}(C1 cos x + C2 sin x) + (4/5) cos x + (2/5) sin x。当 x→ -∞ 时，e^{-2x} → +∞，为使 y 有界，必须令 C1=C2=0，所以所求特解为 y = (4/5) cos x + (2/5) sin x。
公式：x→ -∞ 时 e^{-2x} 发散，故需消去齐次解部分
提示：有界性条件用于确定任意常数，注意 x→ -∞ 时指数函数的趋势。
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