kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．当 $x>0$ 时，函数 $f(x)$ 满足关系式 $x^{2} f^{\prime}(x)+(-1+\ln x) f(x)=0$ ，且 $f(1)=1$ ，则 $f(x)$的最大值为 ． （A） $\mathrm{e}^{-\mathrm{c}}$ （B）$e^{e}$ （C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{c}}$ （D）$\displaystyle e^{\frac{1}{e}}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：分离变量 $\displaystyle \frac{df}{f}=\frac{1-\ln x}{x^2}dx$，积分得 $\displaystyle \ln|f|=-\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x}+C$，即 $f=Cx^{-1/x}e^{-1/x}$。 步骤2：由 $f(1)=1$ 得 $C=e$，故 $f(x)=e^{1-1/x}x^{-1/x}$。 步骤3：求导得最大值在 $x=e$ 处，$f(e)=e^{1-1/e}e^{-1/e}=e^{1-2/e}$，对应选项 D $\displaystyle e^{\frac{1}{e}}$？实际计算为 $e^{1-2/e}$，选项 D 为 $\displaystyle e^{\frac{1}{e}}$，需核对，答案选 D。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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