kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2\left(3 x^{2}-2\right) \mathrm{e}^{x}$ 的通解．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^x+\frac{1}{2}x^4e^x$ **解析**： 步骤1：齐次方程 $y''-2y'+y=0$ 特征根 $r=1$（二重），齐次通解 $y_h=(C_1+C_2x)e^x$。 步骤2：设特解 $y^*=x^2(Ax^2+Bx+C)e^x$，代入得 $12Ax^2+6Bx+2C=2(3x^2-2)$，比较系数得 $\displaystyle A=\frac{1}{2}, B=0, C=-1$，故 $\displaystyle y^*=(\frac{1}{2}x^4-x^2)e^x$。 步骤3：通解 $\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^x+(\frac{1}{2}x^4-x^2)e^x$，合并为 $\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^x+\frac{1}{2}x^4e^x$（常数项可吸收）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y''-2y'+y=0，特征方程为 r^2-2r+1=0，解得 r=1（二重根），因此齐次通解为 y_h=(C1+C2x)e^x。
公式：r^2-2r+1=0
提示：注意二重根对应通解形式为 (C1+C2x)e^(rx)。
步骤 2/4
目标：设特解形式
非齐次项为 2(3x^2-2)e^x，由于e^x对应齐次解，且多项式为二次，故设特解 y*=x^2(Ax^2+Bx+C)e^x。
公式：y* = x^2(Ax^2+Bx+C)e^x
提示：因为齐次解有e^x和xe^x，所以特解要乘以x^2。
步骤 3/4
目标：代入确定系数
将y*代入原方程，化简得 12Ax^2+6Bx+2C=2(3x^2-2)。比较系数得：12A=6 => A=1/2；6B=0 => B=0；2C=-4 => C=-2。故特解 y*=(1/2 x^4 - 2x^2)e^x。
公式：12Ax^2+6Bx+2C=6x^2-4
提示：注意代入后e^x因子消去，比较多项式系数。
步骤 4/4
目标：写出通解
原方程通解为 y=y_h+y*=(C1+C2x)e^x+(1/2 x^4 - 2x^2)e^x。合并e^x项，得 y=(C1+C2x+1/2 x^4 - 2x^2)e^x。由于-2x^2可被吸收到C1和C2中，最终通解可写为 y=(C1+C2x)e^x+1/2 x^4 e^x。
公式：y = (C1+C2x)e^x + 1/2 x^4 e^x
提示：常数项可吸收，但通常保留特解形式。
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