kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．若微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\left(a+\sin ^{2} x\right) y=0$ 的所有解都以 $\pi$ 为周期，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：解一阶线性方程得 $y=Ce^{-\int (a+\sin^2 x)dx}$，周期为 $\pi$ 要求 $\int_0^\pi (a+\sin^2 x)dx=0$。 步骤2：计算 $\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 x dx = \frac{\pi}{2}$，故 $\displaystyle a\pi+\frac{\pi}{2}=0$，得 $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解微分方程的通解形式
给定一阶线性齐次微分方程 dy/dx + (a + sin^2 x)y = 0，分离变量得 dy/y = -(a + sin^2 x)dx，积分得 ln|y| = -∫(a + sin^2 x)dx + C，即 y = Ce^{-∫(a + sin^2 x)dx}。
公式：y = Ce^{-∫(a + sin^2 x)dx}
提示：注意积分常数C为任意常数。
步骤 2/3
目标：利用周期条件确定参数a
所有解以π为周期，即y(x+π)=y(x)对所有x成立。代入通解得 Ce^{-∫(a + sin^2 x)dx} = Ce^{-∫(a + sin^2 (x+π))d(x+π)}。由于sin^2(x+π)=sin^2 x，因此积分区间长度π的积分值必须为零，即 ∫_0^π (a + sin^2 x)dx = 0。
公式：∫_0^π (a + sin^2 x)dx = 0
提示：周期条件转化为积分条件，注意指数函数的周期性要求。
步骤 3/3
目标：计算积分并求解a
计算 ∫_0^π sin^2 x dx = ∫_0^π (1-cos2x)/2 dx = [x/2 - sin2x/4]_0^π = π/2。因此 ∫_0^π (a + sin^2 x)dx = aπ + π/2 = 0，解得 a = -1/2。
公式：∫_0^π sin^2 x dx = π/2
提示：利用倍角公式降幂，注意定积分计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。