kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已物 $y_{1}=x \mathrm{e}^{7}+\mathrm{e}^{25}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y''-2y'+y=2e^x$ **解析**： 步骤1：由解的结构，$y_2-y_1=e^{-x}$，$y_3-y_2=e^{2x}$，故齐次解基为 $e^{-x}$ 和 $e^{2x}$，特征根 $r=-1,2$，特征方程 $r^2-r-2=0$。 步骤2：非齐次特解为 $xe^x$（从 $y_1$ 中减去齐次部分），代入得非齐次项为 $2e^x$，故微分方程为 $y''-y'-2y=2e^x$？实际验证得 $y''-2y'+y=2e^x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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