kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设下列 $A, B, C$ 为任意常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\sin ^{2} x$ 有特解形如（ ）。 （A）$A \sin ^{2} x$ （B）$A \cos ^{2} x$ （C）$x(A+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ （D）$A+x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：原方程$\displaystyle y''+4y=\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，对应齐次方程特征根$r=\pm2i$。 步骤2：非齐次项为常数和$\cos2x$，常数对应特解形式$A$，$\cos2x$对应特解形式$x(B\cos2x+C\sin2x)$（因$\pm2i$是特征根）。 步骤3：综合得特解形式为$A+x(B\cos2x+C\sin2x)$，对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简非齐次项
将 sin^2 x 化为 (1 - cos2x)/2，得到方程 y'' + 4y = (1 - cos2x)/2。
公式：sin^2 x = (1 - cos2x)/2
提示：利用三角恒等式简化非齐次项。
步骤 2/4
目标：求解齐次方程的特征根
齐次方程 y'' + 4y = 0 的特征方程为 r^2 + 4 = 0，解得 r = ±2i。
公式：r^2 + 4 = 0
提示：特征根为共轭复根，对应齐次解为 cos2x 和 sin2x。
步骤 3/4
目标：确定特解形式
非齐次项包含常数项和 cos2x 项。常数项对应特解形式 A；cos2x 对应特解形式 x(B cos2x + C sin2x)，因为 ±2i 是特征根，需乘以 x。综合得特解形式为 A + x(B cos2x + C sin2x)。
公式：特解形式：A + x(B cos2x + C sin2x)
提示：注意 cos2x 对应的特征根与齐次解重复，需乘以 x。
步骤 4/4
目标：匹配选项
选项 D 为 A + x(B cos2x + C sin2x)，与所得特解形式一致。
提示：检查选项中的常数和三角函数形式。
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