kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 x-5$ 满足条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=5$ 的特解。
💡 答案解析
**答案**：$y=2\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{-x}+x+1$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-2y'-3y=0$，特征方程$r^2-2r-3=0$，根$r_1=3$，$r_2=-1$，齐次通解$y_h=C_1\mathrm{e}^{3x}+C_2\mathrm{e}^{-x}$。 步骤2：设特解$y_p=Ax+B$，代入得$-3Ax-2A-3B=-3x-5$，比较得$-3A=-3$，$-2A-3B=-5$，解得$A=1$，$B=1$，故$y_p=x+1$。 步骤3：通解$y=C_1\mathrm{e}^{3x}+C_2\mathrm{e}^{-x}+x+1$。由$y(0)=1$得$C_1+C_2+1=1$，即$C_1+C_2=0$；由$y'(0)=5$得$3C_1-C_2+1=5$，即$3C_1-C_2=4$。解得$C_1=1$，$C_2=-1$。 步骤4：特解$y=\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{-x}+x+1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y'' - 2y' - 3y = 0，特征方程为 r^2 - 2r - 3 = 0，解得 r1 = 3，r2 = -1，因此齐次通解为 y_h = C1 e^(3x) + C2 e^(-x)。
公式：r^2 - 2r - 3 = 0
提示：特征根为实数且不等，通解形式为指数函数线性组合。
步骤 2/5
目标：求非齐次方程的一个特解
由于非齐次项为 -3x - 5，是多项式，设特解 y_p = Ax + B，代入原方程得 -3Ax - 2A - 3B = -3x - 5，比较系数得 -3A = -3，-2A - 3B = -5，解得 A = 1，B = 1，所以 y_p = x + 1。
公式：y_p = Ax + B
提示：特解形式与自由项相同，若自由项是多项式，特解设为同次多项式。
步骤 3/5
目标：写出非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为齐次通解加特解：y = C1 e^(3x) + C2 e^(-x) + x + 1。
公式：y = y_h + y_p
提示：通解结构：齐次通解 + 特解。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
由 y(0)=1 得 C1 + C2 + 1 = 1，即 C1 + C2 = 0；由 y'(0)=5 得 3C1 - C2 + 1 = 5，即 3C1 - C2 = 4。解方程组得 C1 = 1，C2 = -1。
公式：y(0)=1, y'(0)=5
提示：代入初始条件时注意特解部分也需求导。
步骤 5/5
目标：写出特解
将常数代入通解得特解 y = e^(3x) - e^(-x) + x + 1。
提示：最终结果需化简。
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