kaoyan1basic 高等数学 第25题

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📝 题目

### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(3 x+2) \mathrm{e}^{-x}$ 的通解。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle y=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{-x}+\left(\frac{1}{2}x^{3}+x^{2}\right)\mathrm{e}^{-x}$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''+2y'+y=0$，特征方程$r^2+2r+1=0$，根$r=-1$（二重），齐次通解$y_h=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{-x}$。 步骤2：非齐次项$(3x+2)\mathrm{e}^{-x}$，因$-1$是二重特征根，设特解$y_p=x^{2}(Ax+B)\mathrm{e}^{-x}$。 步骤3：代入方程化简得$2A\mathrm{e}^{-x}+(6Ax+2B)\mathrm{e}^{-x}=(3x+2)\mathrm{e}^{-x}$，比较得$6A=3$，$2A+2B=2$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，$\displaystyle B=\frac{1}{2}$。故$\displaystyle y_p=x^{2}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\right)\mathrm{e}^{-x}$。 步骤4：通解$\displaystyle y=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{-x}+\left(\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\right)\mathrm{e}^{-x}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求齐次方程的通解
写出齐次方程 y''+2y'+y=0，特征方程为 r^2+2r+1=0，解得 r=-1（二重根），因此齐次通解为 y_h=(C1+C2x)e^{-x}。
公式：r^2+2r+1=0, r=-1（二重）
提示：注意二重根对应通解形式为 (C1+C2x)e^{rx}。
步骤 2/4
目标：设非齐次方程的特解形式
非齐次项为 (3x+2)e^{-x}，由于 -1 是二重特征根，特解应设为 y_p=x^2(Ax+B)e^{-x}。
公式：y_p=x^2(Ax+B)e^{-x}
提示：当非齐次项为多项式乘以指数函数，且指数为特征根时，需乘以 x^k，k 为特征根重数。
步骤 3/4
目标：代入原方程确定系数
将 y_p 代入原方程，化简后得到 (6Ax+2A+2B)e^{-x} = (3x+2)e^{-x}，比较系数得 6A=3，2A+2B=2，解得 A=1/2，B=1/2。
公式：6A=3, 2A+2B=2
提示：代入后注意合并同类项，比较 e^{-x} 的系数。
步骤 4/4
目标：写出通解
特解为 y_p = (1/2 x^3 + 1/2 x^2)e^{-x}，因此原方程通解为 y = (C1+C2x)e^{-x} + (1/2 x^3 + 1/2 x^2)e^{-x}。
公式：y = y_h + y_p
提示：通解为齐次通解加特解，注意常数任意性。

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