kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【强化篇】第26题（填空题） 26．微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^{x}+C_2\mathrm{e}^{2x}-\left(\frac{1}{2}x^{2}+x\right)\mathrm{e}^{x}$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-3y'+2y=0$，特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r_1=1$，$r_2=2$，齐次通解$y_h=C_1\mathrm{e}^{x}+C_2\mathrm{e}^{2x}$。 步骤2：非齐次项$x\mathrm{e}^{x}$，因$1$是单特征根，设特解$y_p=x(Ax+B)\mathrm{e}^{x}=(Ax^{2}+Bx)\mathrm{e}^{x}$。 步骤3：代入方程得$[2A+2(2Ax+B)+(Ax^{2}+Bx)]\mathrm{e}^{x}-3[2Ax+B+(Ax^{2}+Bx)]\mathrm{e}^{x}+2(Ax^{2}+Bx)\mathrm{e}^{x}=x\mathrm{e}^{x}$，化简得$(-2A)x+(2A-B)=x$，比较得$-2A=1$，$2A-B=0$，解得$\displaystyle A=-\frac{1}{2}$，$B=-1$。故$\displaystyle y_p=\left(-\frac{1}{2}x^{2}-x\right)\mathrm{e}^{x}$。 步骤4：通解$\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^{x}+C_2\mathrm{e}^{2x}-\left(\frac{1}{2}x^{2}+x\right)\mathrm{e}^{x}$。 **难度**：★★★☆☆