kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【强化篇】第27题（填空题） 27．微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x$ 的通解为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=C_1+C_2\mathrm{e}^{4x}-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{16}x$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-4y'=0$，特征方程$r^2-4r=0$，根$r_1=0$，$r_2=4$，齐次通解$y_h=C_1+C_2\mathrm{e}^{4x}$。 步骤2：非齐次项$x$，因$0$是单特征根，设特解$y_p=x(Ax+B)=Ax^{2}+Bx$。 步骤3：代入得$2A-4(2Ax+B)=x$，即$-8Ax+2A-4B=x$，比较得$-8A=1$，$2A-4B=0$，解得$\displaystyle A=-\frac{1}{8}$，$\displaystyle B=-\frac{1}{16}$。故$\displaystyle y_p=-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{16}x$。 步骤4：通解$\displaystyle y=C_1+C_2\mathrm{e}^{4x}-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{16}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y''-4y'=0，特征方程为 r^2-4r=0，解得 r1=0，r2=4，因此齐次通解为 y_h = C1 + C2 e^{4x}。
公式：r^2-4r=0
提示：注意特征根为单根，且0是根之一。
步骤 2/4
目标：设非齐次方程的特解形式
非齐次项为 x，由于0是单特征根，故设特解 y_p = x(Ax+B) = Ax^2 + Bx。
公式：y_p = Ax^2 + Bx
提示：因为0是特征根，所以特解需要乘以x。
步骤 3/4
目标：代入原方程确定系数
计算 y_p' = 2Ax+B，y_p'' = 2A，代入原方程得 2A - 4(2Ax+B) = x，即 -8Ax + 2A - 4B = x。比较系数得 -8A=1，2A-4B=0，解得 A=-1/8，B=-1/16。
公式：2A - 4(2Ax+B) = x
提示：比较系数时注意常数项和一次项对应。
步骤 4/4
目标：写出通解
非齐次方程的通解为齐次通解加特解：y = C1 + C2 e^{4x} - (1/8)x^2 - (1/16)x。
公式：y = C1 + C2 e^{4x} - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x
提示：通解中常数C1和C2为任意常数。
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