kaoyan1basic 高等数学 第28题
📝 题目
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．设 $y=1, y=\mathrm{e}^{-x}, y=2 \mathrm{e}^{-x}$ 为某二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y''+y'=0$ **解析**： 步骤1：解$y=1$对应特征根$r=0$，解$y=\mathrm{e}^{-x}$和$y=2\mathrm{e}^{-x}$对应特征根$r=-1$（二重根实际为单根，因线性相关）。 步骤2：特征根为$r_1=0$，$r_2=-1$，特征方程$r(r+1)=0$，即$r^2+r=0$。 步骤3：对应微分方程为$y''+y'=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定特征根
解 y=1 对应特征根 r=0；解 y=e^{-x} 和 y=2e^{-x} 对应特征根 r=-1（注意两者线性相关，故为单根）。
提示：常数函数对应特征根0；指数函数e^{ax}对应特征根a。
步骤 2/3
目标：写出特征方程
特征根为 r1=0, r2=-1，则特征方程为 (r-0)(r+1)=0，即 r^2+r=0。
公式：(r-0)(r+1)=0
提示：特征方程由特征根乘积得到。
步骤 3/3
目标：写出微分方程
由特征方程 r^2+r=0 对应微分方程 y''+y'=0。
公式：y''+y'=0
提示：特征方程 r^n + a_{n-1}r^{n-1}+...+a_0=0 对应微分方程 y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0 y=0。
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