kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 【强化篇】第29题（选择题） 29．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 $\cos x$ 与 $\mathrm{e}^{2 x}$ ，则该微分方程为（）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：特解$\cos x$对应特征根$\pm i$，特解$\mathrm{e}^{2x}$对应特征根$2$，故特征根为$i$，$-i$，$2$。 步骤2：特征方程$(r-i)(r+i)(r-2)=0$，即$(r^2+1)(r-2)=r^3-2r^2+r-2=0$。 步骤3：对应微分方程为$y'''-2y''+y'-2y=0$，对应选项B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定特征根
特解 cos x 对应特征根 ±i，特解 e^{2x} 对应特征根 2，因此特征根为 i, -i, 2。
提示：常系数齐次线性微分方程的特解形式与特征根对应：e^{αx}cosβx 对应 α±iβ，e^{αx} 对应 α。
步骤 2/3
目标：写出特征方程
由特征根 (r-i)(r+i)(r-2)=0，展开得 (r^2+1)(r-2)=r^3-2r^2+r-2=0。
公式：(r-i)(r+i)(r-2)=0
提示：注意复数根共轭出现，乘积为实系数多项式。
步骤 3/3
目标：写出微分方程
特征方程 r^3-2r^2+r-2=0 对应微分方程 y''' - 2y'' + y' - 2y = 0，对应选项 B。
公式：y''' - 2y'' + y' - 2y = 0
提示：特征方程 r^n + a_{n-1}r^{n-1}+...+a_0=0 对应微分方程 y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0 y=0。
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