kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
### 【强化篇】第30题（选择题） 30．以函数 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x} \sin x$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+7 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+2 y=0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$y_1=x\mathrm{e}^{x}$对应特征根$r=1$（二重），$y_2=\mathrm{e}^{x}\sin x$对应特征根$r=1\pm i$。 步骤2：特征根为$1$（二重），$1+i$，$1-i$，特征方程$(r-1)^2(r-1-i)(r-1+i)=0$，即$(r^2-2r+1)(r^2-2r+2)=r^4-4r^3+7r^2-6r+2=0$。 步骤3：对应微分方程为$y^{(4)}-4y'''+7y''-6y'+2y=0$，对应选项D。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：根据特解形式确定特征根
由 y1 = x e^x 可知，对应的特征根为 r=1（二重根），因为 x e^x 对应二重根1。由 y2 = e^x sin x 可知，对应的特征根为 r=1±i，因为 e^x sin x 对应共轭复根1±i。
公式：若特解为 x^k e^{αx}，则特征根 α 为 k+1 重根；若特解为 e^{αx} sin βx，则特征根为 α±iβ。
提示：注意 x e^x 中的 x 因子表明根1是二重的。
步骤 2/4
目标：写出特征方程
特征根为1（二重）、1+i、1-i，因此特征方程为 (r-1)^2 (r-1-i)(r-1+i)=0。
公式：(r-1)^2 (r-1-i)(r-1+i)=0
提示：共轭复根相乘得到实系数二次式。
步骤 3/4
目标：展开特征方程
计算 (r-1)^2 = r^2 - 2r + 1； (r-1-i)(r-1+i) = (r-1)^2 + 1 = r^2 - 2r + 2。相乘得 (r^2-2r+1)(r^2-2r+2) = r^4 - 4r^3 + 7r^2 - 6r + 2。
公式：(r^2-2r+1)(r^2-2r+2)=r^4-4r^3+7r^2-6r+2
提示：展开时注意合并同类项。
步骤 4/4
目标：写出微分方程并选择选项
特征方程 r^4 - 4r^3 + 7r^2 - 6r + 2 = 0 对应的微分方程为 y^(4) - 4y''' + 7y'' - 6y' + 2y = 0，与选项D一致。
公式：y^{(4)} - 4y''' + 7y'' - 6y' + 2y = 0
提示：注意微分方程阶数等于特征方程次数。
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