kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 【强化篇】第33题（解答题） 33．将以 $y=y(x)$ 为末知函数的微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(x+\mathrm{e}^{y}+\sin y\right)\left(y^{\prime}\right)^{3}=0$ 化为以 $x=x(y)$ 为未知函数的形式，并求其通解。
💡 答案解析
**答案**：$x=-\mathrm{e}^{y}-\cos y+C_1y+C_2$ **解析**： 步骤1：将$y$视为自变量，$x$为因变量，则$\displaystyle y'=\frac{1}{x'}$，$\displaystyle y''=-\frac{x''}{(x')^3}$，代入原方程得$\displaystyle -\frac{x''}{(x')^3}+\left(x+\mathrm{e}^{y}+\sin y\right)\left(\frac{1}{x'}\right)^3=0$，即$\displaystyle -\frac{x''}{(x')^3}+\frac{x+\mathrm{e}^{y}+\sin y}{(x')^3}=0$，化简得$x''=x+\mathrm{e}^{y}+\sin y$。 步骤2：方程$x''-x=\mathrm{e}^{y}+\sin y$，齐次解$x_h=C_1\mathrm{e}^{y}+C_2\mathrm{e}^{-y}$。 步骤3：设特解$x_p=A\mathrm{e}^{y}+B\sin y$，代入得$A\mathrm{e}^{y}-B\sin y-A\mathrm{e}^{y}-B\sin y=\mathrm{e}^{y}+\sin y$，即$-2B\sin y=\mathrm{e}^{y}+\sin y$，无法匹配。应设$x_p=Ay\mathrm{e}^{y}+B\cos y$（因$\mathrm{e}^{y}$是齐次解，$\sin y$对应$i$不是特征根）。 步骤4：设$x_p=Ay\mathrm{e}^{y}+B\cos y$，代入得$(2A\mathrm{e}^{y}+Ay\mathrm{e}^{y}-B\cos y)-Ay\mathrm{e}^{y}-B\cos y=2A\mathrm{e}^{y}-2B\cos y=\mathrm{e}^{y}+\sin y$，比较得$2A=1$，$-2B=0$，但$\sin y$项无法匹配，故需加$C\sin y$项。 步骤5：设$x_p=Ay\mathrm{e}^{y}+B\cos y+C\sin y$，代入得$(2A\mathrm{e}^{y}+Ay\mathrm{e}^{y}-B\cos y-C\sin y)-Ay\mathrm{e}^{y}-B\cos y-C\sin y=2A\mathrm{e}^{y}-2B\cos y-2C\sin y=\mathrm{e}^{y}+\sin y$，比较得$2A=1$，$-2B=0$，$-2C=1$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，$B=0$，$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$。故$\displaystyle x_p=\frac{1}{2}y\mathrm{e}^{y}-\frac{1}{2}\sin y$。 步骤6：通解$\displaystyle x=C_1\mathrm{e}^{y}+C_2\mathrm{e}^{-y}+\frac{1}{2}y\mathrm{e}^{y}-\frac{1}{2}\sin y$。 **难度**：★★★★☆