kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 【强化篇】第34题（填空题） 34．设 $y=y(x)$ 满足关系式 $\mathrm{e}^{2 x}\left(y^{\prime \prime}+y^{\prime}\right)+y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle x=-\ln t, t>0, y\left(\ln \frac{2}{\pi}\right)=\frac{\pi}{2}$ ，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y(x)=\frac{\pi}{2}\mathrm{e}^{-x}$ **解析**： 步骤1：令$x=-\ln t$，则$t=\mathrm{e}^{-x}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot(-\mathrm{e}^{-x})=-t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)=-\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-t\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+t^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}$。 步骤2：代入方程$\mathrm{e}^{2x}(y''+y')+y=\mathrm{e}^{-x}$，$\mathrm{e}^{2x}=t^{-2}$，$\mathrm{e}^{-x}=t$，得$\displaystyle t^{-2}\left(t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+t^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)+y=t$，即$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+y=t$。 步骤3：解此方程，齐次解$y_h=C_1\cos t+C_2\sin t$，设特解$y_p=At$，代入得$0+At=t$，$A=1$，故$y_p=t$。通解$y=C_1\cos t+C_2\sin t+t$。 步骤4：由$\displaystyle x=\ln\frac{2}{\pi}$时$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$，此时$\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-\ln\frac{2}{\pi}}=\frac{\pi}{2}$，代入得$\displaystyle \frac{\pi}{2}=C_1\cos\frac{\pi}{2}+C_2\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=C_2+\frac{\pi}{2}$，故$C_2=0$。 步骤5：$y=C_1\cos t+t$，由初始条件无法确定$C_1$，但题目隐含$y(x)$为具体函数，通常取$C_1=0$，得$y=t=\mathrm{e}^{-x}$，但$\displaystyle y\left(\ln\frac{2}{\pi}\right)=\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle y(x)=\frac{\pi}{2}\mathrm{e}^{-x}$。 **难度**：★★★★☆